C'est quoi le problème avec l'amortissement ?

Il est communément admis que l'amortissement joue un rôle crucial dans les analyses dynamiques. Cependant, est-ce réellement le cas ? Pour répondre à cette question, examinons le comportement d'une plaque vibrante avec deux facteurs de perte η différents d'un facteur de 10. Dans le cas d'une excitation à bande étroite exactement à la fréquence propre de la plaque, il est évident que l'amortissement joue un rôle dominant dans les résonances. Un facteur de 10 d'amortissement entraîne une réduction de l'amplitude de vibration d'un facteur de 10, soit une diminution de niveau de -20dB (carré rouge).

Avec une excitation à large bande, la moyenne de la vitesse RMS ( ligne droite), montre une réduction de l'énergie vibratoire moyenne d'un facteur 10, c'est-à-dire une réduction de l'amplitude de la vitesse d'un facteur √10 et une décroissance de niveau de -10dB (cercle vert). A nouveau, l'amortissement joue un rôle important.

Enfin, nous avons remarqué des fréquences pour lesquelles l'amortissement n'affecte pas l'amplitude de vibration (représentées par les triangles jaunes). Cette absence de différence de 0 dB est claire dans le domaine quasi-statique en dessous de la première fréquence propre. Cependant, elle est également présente dans les régimes de fréquence entre les résonances, qui sont influencés par la masse et la rigidité plutôt que par l'amortissement. Ainsi, l'amortissement n'est pas toujours déterminant dans les amplitudes de vibration. Il est souvent préférable d'utiliser d'autres approches de réduction des vibrations, que nous ne détaillerons pas ici. Cet article propose une stratégie de conception dans l'environnement Ansys Mechanical en utilisant l'amortissement comme méthode privilégiée pour résoudre un problème de vibration donné. Toutefois, il convient de garder à l'esprit que l'amortissement n'est pas toujours la solution la plus efficace pour réduire les vibrations.

Vibration de la plaque avec un facteur de perte de 0,1% (à gauche) et de 1% (à droite) | © CADFEM

L'amortissement peut-il être calculé comme une valeur de résultat ?

Prenons l'exemple d'une passerelle pour piétons mince dont les amplitudes de vibration sont trop élevées lorsqu'elle est utilisée. Imaginons que nous souhaitions réduire l'amplitude de la vibration la plus gênante du deuxième mode de flexion verticale en installant une paire d'éléments d'amortissement, et que nous cherchions le coefficient d'amortissement optimal c. Dans Ansys Mechanical, une analyse modale amortie est appropriée pour ce travail. Les parties imaginaires des valeurs propres complexes résultantes sont les fréquences propres amorties. De plus, et c'est encore plus intéressant, la partie réelle peut être exprimée en termes de facteur d’amortissement modal (modal damping ratio) résultant. Le facteur d’amortissement ξ2 du mode 2 est une mesure pertinente de l'amortissement ou de la décroissance de la vibration de l'ensemble du pont.

Un coefficient d'amortissement c proche de zéro donne le même résultat de ξ2 = 0 que celui obtenu avec le solveur non-amorti. Une augmentation trop rapide de l'amortissement peut être contre-productive. Dans notre exemple, nous avons utilisé un soutien avec amortissement presque rigide, rempli de bitume très visqueux, qui résulte en une sorte de support fixe pour le centre du pont. Après plusieurs essais, nous avons obtenu une valeur optimale de c = 104 Ns/m pour le coefficient d'amortissement. Par conséquent, nous avons obtenu un facteur d’amortissement maximal de ξ2 = 17% pour l'ensemble de la passerelle. Il est important de noter que 17% est un chiffre important, car nous avons pu observer une chute d'amplitude de 90% après seulement deux cycles. De cet exemple simple, nous pouvons tirer les conclusions suivantes :

1. L'amortissement d'un composant individuel peut être extrapolé à l'amortissement de l'ensemble, mode par mode, ce qui est très utile pour l’évaluation de stratégies d'amortissement.
2. Il existe un coefficient d'amortissement optimal pour chaque contribution à l'amortissement. Le facteur d’amortissement modal, calculé grâce à l'analyse modale amortie, est la variable cible appropriée pour l'optimisation.
3. Une fois le coefficient d'amortissement optimal déterminé, il convient d'examiner les moyens techniques pour le mettre en œuvre, tels que l'achat d'un dispositif d'amortissement approprié dans un catalogue ou la conception de matériaux polymères à fort pouvoir d'amortissement pour un modèle de simulation plus détaillé.

Analyse modale amortie pour un pont avec l’ajout d'amortissement discrets dans le but de trouver la constante d'amortissement optimale.  | © CADFEM

Comment entrer l'amortissement dans Ansys Mechanical ?

La manière la plus courante d'entrer l'amortissement dans une simulation est d'ouvrir simplement damping controls sous analysis settings. Pour de nombreuses raisons, la superposition de modes (MSUP) est la méthode privilégiée. Il est facile d'entrer l'amortissement en utilisant le facteur d’amortissement (damping ratio) bien connu ξ = c/ccr = c/2mω comme fraction de l'amortissement critique, où il n'y a plus de passage par zéro de la déflexion. Dans ce cas, ξ = 1 = 100%, tandis que pour de nombreux assemblages structuraux pratiques, le facteur d’amortissement peut être supposé être de l'ordre de 1%. Cependant, le facteur d’amortissement ne peut pas être considéré comme un paramètre matériel dans une telle analyse linéaire, car il dépend à la fois de la fréquence propre et de la masse d'un oscillateur.

En l'absence d'une connaissance plus détaillée lors de la phase initiale de la simulation d'une nouvelle conception, il est généralement pragmatique de prendre cette valeur pour acquise pour l'ensemble de l'assemblage. Pour ce faire, il suffit d'entrer un seul facteur d’amortissement pour l'ensemble du modèle, comme indiqué dans la figure de gauche où un facteur d’amortissement de ξ = 1% est supposé dans une analyse de réponse harmonique basée sur la superposition des modes. Notez que la fréquence propre ω doit être disponible pour définir le facteur d’amortissement ξ. Nous reviendrons sur cette question dans la section suivante. Cette méthode de répartition de l'amortissement sur l'ensemble du modèle est appelée amortissement proportionnel, car la matrice d'amortissement est supposée être proportionnelle à la matrice de rigidité globale.

Mais que faire si vous ne pouvez pas utiliser MSUP pour une raison quelconque ? Par exemple, si vous devez calculer un seul point de fréquence et que vous devez calculer des centaines de modes pour y parvenir, la méthode standard « FULL » pourrait être beaucoup plus économique en termes de ressources de calcul. Ou peut-être devez-vous prendre en compte les paramètres du matériau dépendant de la fréquence, ce qui rend l'analyse modale impossible à réaliser. Dans ce cas, l'analyse FULL est la méthode de choix, même si elle est connue pour être beaucoup plus coûteuse. Dans ce cas, vous devez entrer le facteur de perte η = 2·ξ = 2% dans notre exemple. Il est important de se rappeler cette relation simple et de ne pas entrer n'importe quelle valeur sans réflexion, simplement parce que quelqu'un vous a donné une valeur d'amortissement exprimée en pourcentage ambigu.

Paramètres d'analyse avec contrôles d'amortissement pour MSUP (gauche) et FULL (droite). | © CADFEM

Plus proche de la science des matériaux - définir le facteur de perte η

Lors d'une analyse Harmonic Full, il est essentiel de spécifier le facteur de perte (loss factor) η, car la fréquence naturelle ω et le facteur d’amortissement ξ ne sont pas définis. En revanche, dans une analyse MSUP, l'utilisateur doit décider entre "Damping Define By", "Damping Ratio" ou " Constant Structural Damping Coefficient" (le terme employé dans Ansys pour « loss factor »). Mais quelle est la signification du facteur de perte ? Pour comprendre cela, on peut examiner le diagramme contrainte-déformation d'un échantillon de matériau. Pour un matériau de Hooke à élasticité linéaire, la courbe est une ligne droite entourant un triangle bleu, qui représente la densité d'énergie de déformation Uref stockée dans un corps élastique en raison de la déformation.

Cependant, pour un matériau visqueux linéaire, la courbe est une ellipse d'hystérèse, qui est un indicateur clair de l'amortissement. L'aire de l'ellipse correspond à l'énergie dissipée pendant un cycle de vibration. Cette définition permet de comprendre physiquement le facteur de perte (loss factor) η = WDh/2πUref, qui indique la fraction de l'énergie mécanique vibratoire qui est perdue sous forme de chaleur au cours d'un cycle de vibration [Cremer1988]. Ainsi, le facteur de perte peut être étendu à des mécanismes de dissipation non linéaires arbitraires.

Une autre interprétation du facteur de perte provient de l'angle de phase δ observé entre la contrainte σ et la déformation ε, qui conduit à la relation η = tan δ. L'essai AMD (Analyse Mécanique Dynamique) est une méthode importante pour déterminer le facteur de perte (loss factor) en fonction de la fréquence et de la température. Le facteur de perte est généralement présenté dans les publications en science des matériaux ou dans les manuels sur les matériaux d'amortissement [Nashif1985]. Pour son utilisation dans un environnement de simulation, seule la fréquence d'excitation Ω est nécessaire, et non la fréquence propre ω. Ainsi, l'analyse harmonique FULL et l'analyse MSUP peuvent fonctionner avec le facteur de perte η, contrairement à l'analyse transitoire.

Hystérèse contrainte-déformation pour un échantillon de matériau linéaire visqueux et un échantillon de matériau arbitraire non linéaire. | © CADFEM

Quelles sont les valeurs d'amortissement typiques ?

Pour avoir une première estimation de l'amortissement des matériaux, il est important de comprendre que les matériaux se comportent de manière très différente en termes d'amortissement. Par exemple, les métaux comme l'acier ou l'aluminium ont généralement des facteurs de perte très faibles, qui sont constants sur une large gamme de fréquences et de températures. En revanche, les matériaux polymères conçus pour des propriétés d'amortissement optimales présentent une dépendance significative à la fréquence et à la température, qui doit être prise en compte lors de la recherche du comportement d'amortissement optimal.

Il est important de noter que les métaux ne fournissent pratiquement aucun amortissement notable. Dans de nombreux cas, l'amortissement des structures métalliques résulte d'effets parasites tels que l'amortissement des joints dû au frottement sec ou au déplacement (pompage) de l'air ou de fluides dans les interstices ou les milieux adjacents, ou encore la perte d'énergie due au rayonnement sonore. Pour obtenir une idée générale des valeurs d'amortissement typiques pour un assemblage, il est possible de mesurer simplement le temps de décroissance ou la largeur de bande à mi-puissance. La moyenne de ces valeurs est souvent utilisée comme valeur d'amortissement globale pour l'ensemble de l'assemblage.

Cependant, si des matériaux hautement amortissants sont utilisés pour la réduction des vibrations, il est important d'y accorder plus d'attention, car ces matériaux peuvent être la clé du succès pour une réduction significative des vibrations et pour décider de la vitesse, de l'efficacité et du rendement de votre machine. Dans certains cas, l'utilisation de matériaux inadaptés peut entraîner une défaillance par fatigue due à des amplitudes de résonance élevées. Pour démarrer correctement avec la simulation, il est recommandé d'obtenir les paramètres d'amortissement détaillés du matériau auprès du fabricant ou de les caractériser au moyen de procédures d'essai pertinentes telles que la AMD (Analyse Mécanique Dynamique) proposée par les bureaux d'essai des matériaux et les prestataires de service. Il est important de déterminer si cela en vaut la peine en fonction des objectifs de la conception.

Typical loss factors for material classes:

Comment réduire les vibrations avec un matériau amortissant ?

Comme nous l'avons vu, l'établissement d'une bibliothèque de valeurs d'amortissement pour les matériaux métalliques couramment utilisés n'est généralement pas nécessaire étant donné leur contribution mineure à l'amortissement global d'un assemblage. Toutefois, si un problème de résonance persiste malgré l'utilisation d'autres techniques d'ingénierie, il est possible d'optimiser la conception pour augmenter l'amortissement. Dans ce cas, des composants finis disponibles dans le commerce ou des produits semi-finis tels que des feuilles composites aux propriétés amortissantes peuvent être envisagés pour répondre aux exigences de la conception.

Prenons l'exemple d'une chaîne cinématique automobile nécessitant un confort de conduite optimal, avec des vibrations et un niveau sonore réduits. Pour améliorer l'amortissement, il est possible d'ajouter un noyau visqueux fin, tel que du néoprène de 50 µm avec une valeur d'amortissement remarquable de η=0.28 entre deux feuilles de couverture métalliques d'une épaisseur de 1 mm (η faible). L'utilisation de matériaux avec des propriétés d'amortissement différentes peut rendre l'analyse plus complexe, notamment en cas d'amortissement non proportionnel. ( → non-proportional damping)?

Dans ce cas, l'analyse modale amortie peut être utilisée. Il convient alors de saisir les propriétés d'amortissement du matériau dans Engineering Data > Material Dependent Damping > Damping Ratio (NB: le coefficient d'amortissement structurel Constant Structural Damping Coefficient, également appelé facteur de perte (loss factor η) est quant à lui indiqué une ligne plus loin pour contrôle). En entrant les propriétés élastiques et d'amortissement connues pour chaque matériau, l'amortissement global du sandwich peut être calculé, par exemple à η=0,06. Il est important de noter que le coefficient d'amortissement obtenu à l'issue de la simulation, ici η=0,06, n'est pas une valeur d'entrée. Il s'agit d'un résultat de la simulation en réponse à un problème de conception de vibration ou de bruit spécifique. Ainsi, pour maximiser l'amortissement du composant ou de l’assemblage, il est possible de jouer sur l'épaisseur de la couche et le choix des matériaux en réalisant plusieurs simulations.

Traitement d'amortissement des couches sous contrainte (CLDT) | © CADFEM

Quelles sont les autres possibilités avec Ansys Mechanical ?

Il convient de souligner que cet article ne couvre qu'une petite partie des nombreuses possibilités de simulation lorsqu'on considère l'amortissement comme un allié plutôt qu'un ennemi de l'ingénieur de simulation. Voici quelques exemples supplémentaires de sujets abordables par simulation :

• La réponse harmonique des matériaux présentant des propriétés d'amortissement distinctes. Dans le cas d'un amortissement non proportionnel, comme c'est souvent le cas, la méthode réduite (QRDAMP) qui projette la matrice d'amortissement dans le sous-espace modal peut être efficace.
• Les propriétés des matériaux viscoélastiques en fonction de la fréquence, qui peuvent être obtenues à partir du rapport d'essai de l’AMD (Analyse Mécanique Dynamique), constitue le moyen le plus précis de simuler des matériaux à fort amortissement.
• L'amortissement de structure tournantes, qui peut être un paramètre crucial en dynamique des rotors.
• L'amortissement du film d'huile EHD (Elastohydrodynamique).
• La masse ajoutée d'un fluide lourd enfermé, comme de l'eau dans un réservoir, peut être simulée par des éléments acoustiques en mécanique. Il est important de noter que dans ce scénario, la réduction de l'amplitude des vibrations est principalement due à la masse du fluide et non à l'amortissement dû à la viscosité.

En fin de compte, l'amortissement est une propriété importante à prendre en compte lors de la conception d'assemblages mécaniques et de structures afin de réduire les vibrations et le bruit. Les techniques de simulation modernes permettent une analyse précise de l'amortissement, ce qui peut aider les ingénieurs à optimiser la performance des produits tout en réduisant les coûts de développement et de production. Vous vous souvenez de l'exemple du pont pour piétons ? Le problème bien connu après l'ouverture de la passerelle Millenium de Londres avait été résolu par des TMD (tuned mass dampers) - des dispositifs d'amortissement de masse accordée. L'isolation vibratoire est un autre moyen de se débarrasser des vibrations indésirables. Dans les deux cas, la réduction des vibrations est avant tout une question de rigidité, et non d'amortissement. Si vous êtes intéressé pour approfondir tous ces phénomènes et leurs solutions de simulation, une formation CADFEM dédiée [Moosrainer2022], également disponible en e-Learning, vous guidera pas à pas, avec de nombreux exercices pratiques, pour vous préparer à résoudre vos propres cas de réduction des vibrations.

Pont piétonnier vibrant avec un absorbeur TMD (Tuned Mass Damper) | © CADFEM

Images de couverture : Droite : © CADFEM GmbH | Liens : © CADFEM GmbH
Première publication : Janvier  2023

Références
[Cremer1988] Cremer, L.; Heckl, M. and Ungar, E. E.: Structure-Borne Sound. Springer Verlag, Berlin, 2^nd edition (1988).
[Moosrainer2022] Moosrainer, M.: Understand and simulate damping of mechanical vibrations, CADFEM Seminar (2022).
[Nashif1985] Nashif, A. D.; Jones, D. I. G. und Henderson, J. P.: Vibration Damping. John Wiley & Sons, New York (1985).